美文网首页高中数学纲目
三角函数之目：2013年理数全国卷A题17

三角函数之目：2013年理数全国卷A题17

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-01-25 00:20 被阅读0次

2013年理数全国卷A题17（本题满分12分）

如图，在 \triangle ABC 中，\angle ABC=90°, AB=\sqrt{3},BC=1,P 为 \triangle ABC 内一点，\angle BPC=90°.

（Ⅰ）若 PB=\dfrac{1}{2}，求 PA；

（Ⅱ）若 \angle APB = 150°，求 \tan \angle PBA。

【解答第1问】

我们从一个小学级别的问题开局：

\boxed{\mathbb{Q}} 图中有几个三角形？有没有特殊的三角形？

\boxed{\mathbb{A}} 回答是：图中有4个三角形：\triangle ABC,\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA

而且，在4个三角形中，有两个是直角三角形：Rt\triangle ABC,Rt\triangle PBC

应用初中的数学知识，可以得出结论：\angle PCB = \angle PBA （同一个角的余角相等）

在 Rt\triangle PBC 中，\sin \angle PCB=\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{1}{2}

\sin \angle PCB = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; \cos \angle PCB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

依据余弦定理可得：

PA^2=AB^2+PB^2-2\cdot AB \cdot PB \cdot \cos \angle PCB

=3+\dfrac{1}{4}-2\cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}

=\dfrac{7}{4}

\therefore PA=\dfrac{\sqrt{7}}{2}

【解答第2问】

不妨记 \theta = \angle PBA

\angle PCB = \angle PBA \Rightarrow PB=BC \cdot \sin\theta=\sin\theta

在 \triangle PBA 中应用正弦定理：

PA=\dfrac{AB}{\sin 150°} \cdot \sin\theta

=2\sqrt{3}\sin\theta

在 \triangle PBA 中应用余弦定理：

AB^2=PA^2+PB^2-2PA\cdot PB\cdot \cos 150°

3=12\sin^2\theta+\sin^2\theta + 6 \sin^2\theta

\therefore \sin^2\theta=\dfrac{3}{19}

\dfrac{1}{\tan^2\theta}+1=\dfrac{1}{ \sin^2\theta } =\dfrac{19}{3}

\tan^2\theta=\dfrac{3}{16}

\because \theta \lt 90°

\therefore \tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{4}

【提炼与提高】

解答三角形的问题，一定要学会看图。『图中有几个三角形？有没有特殊的三角形？』这是一个简单又实用的问题。

假如图中有直角三角形，那是好消息，从三角函数的角度来看，直角三角形比较『简单』。

从例题的角度，正弦定理和余弦定理是年年出现的必考内容。从解题的角度，这两个定理是看家本领。

在本题中，两个定理配合使用，十分典型。

相关文章

网友评论

    本文标题：三角函数之目：2013年理数全国卷A题17

    本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/zhwvzktx.html

    延伸阅读

    深度阅读

    • 您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

    栏目导航

    热点阅读

    高中数学纲目

    关于我们|服务条款|联系我们|三角函数之目：2013年理数全国卷A题17|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

    提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

    Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网 版权所有

    备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

    本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

    所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！