零点问题：2016年理数全国卷A题21
作者:
易水樵 | 来源:发表于
2021-11-04 23:39 被阅读0次零点问题：2016年理数全国卷A题21
已知函数 %3D(x-2)e%5Ex%20%2B%20a(x-1)%5E2)
有两个零点.
（Ⅰ）求 
的取值范围;
（Ⅱ）设 
是 )
的两个零点，证明∶ 
.
【解答问题Ⅰ】
%3Dxe%5Ex%20-2e%5Ex%20%2B%20a(x-1)%5E2)
定义域为 )
.
%3D-e)
%20%3D%20xe%5Ex%20%2B%20e%5Ex%20-2e%5Ex%20%2B%202a(x-1))
%20%3D%20(x-1)(e%5Ex%2B2a))
(1) 若 
, %20%3D%20(x-2)%20e%5Ex)
显然，只有一个零点，即 %3D0)
(2) 若 
,
令 )
, 则 
%20%3D%200)
%3D%20-2a%20x_0%20%2B4a%20%2Ba%20(x%5E2_0-2x_0%2B1))
)
∵ %5E2%2B1%20%5Cgt%200)
,
∴ %20%5Clt%200)
若 
,
当 %20%5Cgt%200)
, 函数 单调递增且 %20%5Clt%20-e)
, 没有零点；
当 %20%5Cgt%200)
, 函数 单调递增，最多有1个零点；
若 
,
当 %20%5Cgt%200)
, 函数 单调递增且 %20%5Clt%200)
, 没有零点；
当 %20%5Clt%200)
, 函数 单调递减，%20%5Cgt%20f(x)%20%5Cgt%20-e)
, 没有零点；
当 , 函数 单调递增，最多有1个零点；
同理可证：若 
, 只有1个零点；
当 , 函数 单调递增且 , 没有零点；
当 %20%5Clt%200)
, 函数 单调递减，%20%5Cgt%20f(x_0))
, 没有零点；
当 , 函数 单调递增，最多有1个零点；
所以， 
不符合要求；
(3) 若 
,
当 %20%5Clt%200)
, 函数 单调递减；
当 , 函数 单调递增；
当 
, 
e%5Ex%20%5Cgt%20x-2)
函数 %3Dax%5Ex%2B(1-2a)x%20%2Ba-2)
的开口向上，所以，存在 )
, 当 
时，%20%5Cgt%200)
, 从而
e%5Ex%2Ba(x-1)%5E2%20%5Cgt%200)
所以，在 )
区间，存在 的1个零点；
当 %20%5Cgt%200)
, 所以，在 )
区间存在 的1个零点；
综上所述， 的取值范围为 )
【解答问题Ⅱ】
根据前节推导的结论，不妨设 )
, )
.
因为 是 的零点，所以 %3D0)
%5E2%3D(x_2-1)%5E2)
本文标题：零点问题：2016年理数全国卷A题21
本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/bielzltx.html
网友评论