开始正题，线性算符作用于函数上，使一个函数变为另一个函数，而这个作用是线性的。也就是所满足性质
直接讲线性算子可能比较抽象，让我们按照之前的顺序，从有限维线性空间开始。
关于n维向量空间，我们已经有了足够的了解，其中的元素就是n维向量，通过线性变换，我们可以从一个向量变化到另一个向量，可以写作。当我们选定了向量空间的一组基后，可以通过矩阵来表示这个线性变换；
具体而言，就是
，其中
，
这样，在特定的一组基下，线性变换就表示成了n×n的矩阵。
于是，我们得到了结论，在有限维向量空间下，线性变换和矩阵有着密切的联系，通过选定一组基，可以实现他们的互相转化。这样的性质，形式上可以毫无困难的推广到无穷维的线性空间，只不过，此时的矩阵是无穷矩阵。
当然，具体上还有很多问题，比如收敛性问题，就比较复杂了。
让我们继续推广，在连续基向量空间上，该怎么处理呢？结合上面的例子，我们首先给出了一组基，然后将向量用这组基来表示，结果呢，向量在基上的系数关系就可以通过矩阵给出。
于是开始实践这一想法。
类比，得到了矩阵l，可是这个l不太像矩阵，反而像一个泛函，给出一个函数，作用后得到了另一个函数，这只是看上去而言的，当我们通过狄拉克函数选择某一个特定的基时，l依然保持着基的对应。于是最后我们就得到这样的式子。
其中
然后，就结束了。L是线性算符，假设连续基的取值范围是，那么l就是下标定义在
上的矩阵，下标取定后就是一个数。考虑函数理论中的描述，这是一个双参数函数
就像一个张量，可以进行多重解读除了整体赋值，还可以分别对两个参数赋值，从而得到不同的函数
上面这个表示一个参数索引的单参数函数族。
对应的还有这样的
这种赋值过程的差异性是很有意思的，可以从一个对象得到不同的解释。
通过这种方法还可以揭示泛函的实质，上面是用数作为索引，得到函数，泛函使用函数作为索引，得到数。
这就是最常见的线性泛函，积分算子。
这个系列算是完结了，关于连续性的向量空间，也只是在形式上去推演一番，建立直观印象，具体的内容，了解不多，还需要进一步的学习。
最后，回想起最初的目的，是为了对量子力学产生更深的理解，在态的表示上面，这个任务可以说是完成了，态的表示，就是在本征态所构成的向量空间中对向量的表示，也可以认为是在态在态空间中的表示。对于算符也有了更深的理解，算符的作用就是从一个向量变换到另一个向量，也就是在态空间中从一个态变换到另一个态。
不过，量子力学还与另一个数学领域联系密切，那就是群表示，这又是一条漫长的学习之旅。
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