线性算符和矩阵3

上回说到了本征值在实数范围取值时，使用通常的手段就无法表示了。因为我们甚至无法显式的写出它的所有的基，就像我们无法写出所有的实数一样。

这种情况，如果还是使用向量空间的说法，就很牵强，感觉忽略了某一特征。来考虑这样的情形，当使用通常的基与线性组合的表示法时，由于基的总数是不可数的，对这些基使用加法，除非只有有限项不为零，或者是趋于零的可数个项，否则结果一定是无穷。而对于这两种具有有限值的情形，用之前的表示法就行了，没必要特地引入一个复杂的表示。

所以，必须保证这种表示法的收敛性，否则就没意义了。既然加法不能用，那么就换一个角度。

对于这种连续型的表示，本质上不就是函数吗？回想函数的定义，对定义域中的每一个元素，通过映射关系在陪域中，有且只有一个元素与之对应。而所谓的连续型向量空间中，对于每一个基，都有一个系数与之对应。那么就将所有的基组成的集合视为定义域，这些系数作为陪域中的元素，一个表示，就是一个函数关系。

图解：一种兼有连续基和离散基的表示，是比连续函数更为普遍的对象，即可测函数。其中的连续部分可以通过经典的微积分来处理。

对于函数的求和，早已发展了一套积分理论来求解，于是，我们就找到了合适的表示法，那就是使用积分来代替求和，来确保结果的收敛。

总结一下，对于基取连续值的向量空间，其元素的表示不能再使用加法，因为一般情况必定发散。通过与函数的比较，我们发现他们极为相似，于是，就使用函数理论中的积分来代替求和运算。这样就得到了收敛的表示。

到这就结束了吗？

并没有，因为，虽然收敛的问题解决了，可是又出现了一个问题，这种积分表示和我们之前使用的表示法不协调，对于同一个元素，使用两种表示方法，得到的结果不一致。

举个例子，我们从连续的基中取出有限个，构成有限维向量空间的基，然后对这个空间中的元素分别使用这两种方法来表示，用加法表示的时候得到的是不为零的数值，而使用积分表示的时候，结果必定为零，因为积分理论中规定了单个点的函数值不影响积分结果，所以一定是零，有限多个点的积分自然也是零。这就产生矛盾了，积分从来不考虑单个基的数值，而加法肯定要考虑了。这又该怎么办呢？

一个黑点导致了问题

解决方案肯定是要对表示法进行调整，调整哪一个呢？有限维表示久经考验，所以值得信赖，而积分毕竟是一种借鉴而来的东西，其正确性还需验证。经过权衡，自然就要去调整积分表示法。调整的关键就在于单个点的数值不应该被忽略，考虑到有限维表示的时候，总可以通过乘上一个基向量来获得他的系数，于是可以类比在积分中，乘上一个与所求系数对应的基矢量有关的东西，来获得他的系数。

这个东西就是狄拉克函数，被积函数乘上这个东西后再积分，就能得到某一基矢量的系数。至此，两种表示法的不协调就消除了。

狄拉克函数

当我们在连续的基中取有限的基来表示时，不能简单积分，而要乘上取出的基所对应的狄拉克函数后再积分。当然，这只是一种想法，具体的计算细节就不讨论了。

好的，现在，我们就将态的表示给说完了，在这个的基础上，才能取讨论线性算符和矩阵的联系。其实，善于类比的人可能已经发现了。因为，这其实是两种结构的对应，积分表示法将函数理论和代数理论联系了起来，那么对于同一个对象，就有了两种不同的解释，线性算符是函数理论的解释，而矩阵是代数理论的解释。这就放到下一回再讲吧。

附加：

正如上节所讲的那样，这些表示手段早已广泛应用，在信号分析领域，狄拉克函数往往被称为冲激信号，可用来对连续频谱进行离散取样，就像我们在上面做的那样，不过，遗憾的是，其背后的泛函分析中的道理因为深奥而隐而不谈，虽然也有很多对此感兴趣的从业者试图通过实例，通过经验来进行解释，但是，从数学上才有可能得到最本质的解答。

所以，有时候也感觉在具体领域做得精深之后，能够在繁琐的具体知识中找到简单的本质之后，才容易对数学产生更深的理解，从而有意无意的向其靠拢，这也是认识的必然要求，从感性认识上升到理性认识，就必须量化，逻辑化，就必须借助于数学。