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不等式之目：2015年理数全国卷B题24

不等式之目：2015年理数全国卷B题24

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-09 15:15 被阅读0次

2015年理数全国卷B题24

（24）（本小题满分10分）选修4-5∶不等式选讲
设 a，b，c，d  均为正数，且 a＋b=c＋d，证明∶
（I）若 ab>cd，则 \sqrt{a}+\sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}；
（Ⅱ）\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d} 是 |a-b| < |c-d| 的充要条件.

【解答问题I：方法1】

用不等式的性质完成证明。

因为 a，b，c，d 均为正数，

所以 a=(\sqrt{a})^2, \; b=(\sqrt{b})^2

(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b +2\sqrt{ab}

(\sqrt{c}+\sqrt{d})^2=c+d + 2\sqrt{cd}

若 ab>cd，则 ab-cd \gt 0, 即 (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})(\sqrt{ab} - \sqrt{cd}) \gt 0

而 (\sqrt{ab} + \sqrt{cd}) \gt 0

所以 (\sqrt{ab} - \sqrt{cd}) \gt 0

所以 (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - (\sqrt{c}+\sqrt{d})^2 \gt 0, 即

[(\sqrt{a}+\sqrt{b}) + (\sqrt{c}+\sqrt{d})] \cdot [(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - (\sqrt{c}+\sqrt{d})] \gt 0

因为 (\sqrt{a}+\sqrt{b}) + (\sqrt{c}+\sqrt{d}) \gt 0,

所以 (\sqrt{a}+\sqrt{b}) - (\sqrt{c}+\sqrt{d}) \gt 0

所以 \sqrt{a}+\sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}

【解答问题I：方法2】

借助函数的单调性完成证明。

函数 f(x)=x^2 与 g(x)=\sqrt{x} 在区间 (0,+\infty) 上单调递增.

ab \gt cd \gt 0 \Rightarrow \sqrt{ab} \gt \sqrt{cd} \gt 0

又 ∵ a+b=c+d,

∴ a+b+2\sqrt{ab} \gt c+d +2\sqrt{cd} \gt 0

∴(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \gt (\sqrt{c}+\sqrt{d})^2 \gt 0

∴ \sqrt{a}+\sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}.

【解答问题Ⅱ】

若 \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}，

则 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 > (\sqrt{c} + \sqrt{d})^2, 即

a+b + 2\sqrt{ab} \gt c+d + 2\sqrt{cd}

又因为 a＋b=c＋d，所以 2\sqrt{ab} \gt 2 \sqrt{cd}

所以 4ab \gt 4cd, -4ab \lt -4cd

所以 (a+b)^2 -4ab \lt (c+d)^2 -4cd

|a-b|^2 \lt |c-d|^2

所以 |a-b| \lt |c-d|.

若 |a-b| \lt |c-d|，则 (a-b)^2 \lt (c-d)^2.

又因为 a+b=c+d \Rightarrow (a+b)^2=(c+d)^2,

所以 (a-b)^2 - (a+b)^2 \lt (c-d)^2 - (c+d)^2

-4ab \lt -4cd

ab \gt cd

\sqrt{ab} \gt \sqrt{cd}

又因为 a+b=c+d

所以 a+b +2\sqrt{ab} \gt c+d +2\sqrt{cd}

(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \gt (\sqrt{c} + \sqrt{d})^2

\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}.

综上可知：\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d} 是 |a-b| < |c-d| 的充要条件.

【提炼与提高】

本题难度中等。适合用作同步补充习题。

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