不等式之目：2017年理数全国卷B题23

不等式之目：2017年理数全国卷B题23

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-10 10:09 被阅读0次

2017年理数全国卷B题23

23.【选修4-5∶不等式选讲】（10分）
已知 $a>0，b>0，a^3＋b^3=2.$ 证明∶
(1) $(a+b)(a^5+b^5) \geqslant 4;$
(2) $a+b \leqslant 2.$

【解答问题1】

$ab^5+a^5b \geqslant 2\sqrt{ab^5 \cdot a^5b}$

$\Rightarrow ab^5 +a^5b \geqslant 2a^3b^3$

$\Rightarrow a^6+b^6 + ab^5 +a^5b \geqslant (a^3+b^3)^2$

∵ $(a+b)(a^5+b^5)=a^6+b^6 +ab^5+a^5b$

∴ $(a+b)(a^5+b^5) \geqslant (a^3+b^3)^2$

∴ $(a+b)(a^5+b^5) \geqslant 4$ .

【解答问题2】

$a^2+b^2 \geqslant \dfrac{1}{2} (a+b)^2$

$ab \leqslant \dfrac{1}{2} (a^2+b^2) \Rightarrow -ab \geqslant -\dfrac{1}{2} (a^2+b^2)$

$a^2-ab+b^2 \geqslant \dfrac {1}{2} (a^2+b^2) \geqslant \dfrac{1}{4}(a+b)^2 \geqslant 0$

$(a+b)(a^2-ab+b^2) \geqslant \dfrac{1}{4}(a+b)^3$

$(a+b)^3 \leqslant 4(a^3+b^3)$

$(a+b)^3 \leqslant 8$

$a+b \leqslant 2$ .

【提炼与提高】

本题用到了以下知识点：

『完全平方公式』

这个公式是初中数学的核心内容，在高中数学也是核心考点。基本形式大家都很熟悉，但它有多种变化形式，就不是人人会用。

注意在本题中用到的这样的形式： $\boxed{a^6+b^6+2a^3b^3=(a^3+b^3)^2}$

『立方和公式』

$\boxed{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}$

这个公式没有完全平方公式出名，但考试中还是会用到。难度也不算很高。

『两个常用的不等式』

若 $a,b$ 为正数，则以下不等式成立：

$\boxed{2ab \leqslant a^2+b^2}$

$\boxed{a^2+b^2 = \dfrac {1}{2}(a+b)^2 + \dfrac{1}{2}(a-b)^2 \geqslant \dfrac{1}{2} (a+b)^2}$

『不等式的性质』

$\boxed{a \lt b \Rightarrow -a \gt -b}$

总之，本题用到的公式并不高深。但是，使用这些公式解决实际问题，还是有些难度的。

这是一个重点考查学生能力的考题，值得重视。

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