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对数函数与指数函数：2019年理数全国卷B题14

对数函数与指数函数：2019年理数全国卷B题14

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-18 22:07 被阅读0次

2019年理数全国卷B题14

14.已知 f(x) 是奇函数，且当 x \lt 0 时，f(x)=-e^{ax}，若 f(\ln2)=8，则 a=\underline{\mspace{100mu}} .

【解析】

因为 f(x) 是奇函数，所以 f(x)=f(-x), 所以

f(\ln 2) = - f(-\ln 2)

因为 \ln \gt \ln 1 \gt 0, - \ln 2 \lt 0, 所以

f(- \ln 2) = -e ^ {- a \ln 2} = - \dfrac{1} {e^{a \ln 2}} = - \dfrac{1}{2^a}

f( \ln 2) = - f(- \ln 2) = \dfrac{1}{2^a} = 8

2^a=\dfrac{1}{8}

a=-3

【提炼与提高】

本题难度适中，涉及以下几个公式：

（1）奇函数的概念：\boxed {f(x) = - f(-x)}

（2）对数函数值的正负性：

\boxed {\ln 1 =0}

\boxed{ \ln 2 \gt \ln 1 \gt \ln \dfrac{1}{2} }

（3）指数运算规则：

\boxed{ e^{-t} = \dfrac{1}{e^t}}

\boxed{ e^{a \ln 2} = (e^{ \ln 2} )^a = 2^a }

以上几个公式并不算难。但是把几个公式放在一个题目中，就容易发生混淆。

克服这类混淆，不能靠盲目地刷题，而是要从两个方面着手：一是彻底搞清楚基本概念；二是从一开始就养成好习惯，每走一步都要有依据。

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