指数函数：2017年文数全国卷B题21

指数函数：2017年文数全国卷B题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-12 22:57 被阅读0次

指数函数：2017年文数全国卷B题21

设函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}$ .

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（2）当 $x \geqslant 0$ 时， $f(x) \leqslant ax+1$ ，求 $a$ 的取值范围.

【解答问题1】

函数的定义域为 $(-\infty,+\infty)$ .

$f'(x)=-(x^2+2x-1)e^x$

导函数有两个零点： $f'(-1-\sqrt{2})=f'(-1+\sqrt{2})=0$

当 $x \lt -1-\sqrt{2}, f'(x) \lt 0$ ，函数 $f(x)$ 单调递减；

当 $-1-\sqrt{2} \lt x \lt -1+\sqrt{2}, f'(x) \gt 0$ ，函数 $f(x)$ 单调递增；

当 $x \gt -1+\sqrt{2}, f'(x) \lt 0$ ，函数 $f(x)$ 单调递减；

【解答问题2】

$f(x) \leqslant ax+1 \Leftrightarrow\; ax+1+(x^2-1)e^x \geqslant 0$ .

当 $x=0$ , $f(x)=1=ax+1$

(1) 若 $a=1$ , $f(x)=x+1$

令 $h(x)=(x-1)e^x+1$

则 $h(0)=0$ , $h'(x)=xe^x, h'(0)=0$

当 $x \gt 0, h'(x) \gt 0$

所以，当 $x \gt 0, h(x) \gt 0$

即 $(x-1)e^x+1 \gt 0$

所以， $(x+1)(x-1)e^x+(x+1) \gt 0$

所以， $f(x) \leqslant ax+1$ 成立.

(2) 若 $a \gt 1$ ，当 $x \gt 0$ , $x \lt ax$ , 所以， $f(x) \leqslant ax+1$ 成立.

(3) 若 $a \lt 1$ , 记 $g(x)=ax+1-(1-x^2)e^x$

则 $g(x)=ax+(x^2-1)e^x +1$

则 $g(0)=0$

$g'(x)=a+(x^2+2x)e^2-e^x$

若 $x \in (0,1)$ , 则有 $0 \lt e^x \lt e$ ,

$e^x \gt x+1$ , $-e^x \lt -x-1$

$g'(x) \lt a +ex^2 +2ex -x -1 \lt a-1 +ex^2 +2ex$

$g'(x) \lt a-1 + ex(x+2) \lt a-1+3ex$

令 $x_0=\dfrac{1-a}{3e}$ , 当 $x \in (0, x_0)$ , $3ex \lt 1-a$ $g'(x) \lt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递减， $g(x) \lt g(0)$ , 即 $g(x) \lt 0$

所以， $f(x) \leqslant ax+1$ 不成立.

综上所述，求 $a$ 的取值范围为 $[1,+\infty)$ .

【提炼与提高】

本题涉及以下几个方面的知识和技能：

（1）应用导函数讨论函数的单调性；

（2）应用不等式的性质进行转化；

（3）不等式证明中的缩放技巧；

题目难度中等，但考查的面还是比较全的。这样的考题，对于提高能力大有益处。

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本文标题：指数函数：2017年文数全国卷B题21

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