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抛物线与圆：2016年全国卷A题10

抛物线与圆：2016年全国卷A题10

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-01-24 00:02 被阅读0次

抛物线与圆：2016年全国卷A题10

以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点，交 C 的准线于 D,E 两点. 已知 |AB| = 4 \sqrt{2}, \; |DE| =2\sqrt{5} ，则 C 的焦点到准线的距离为

(A)2 \qquad (B)4 \qquad (C)6 \qquad (D)8

2016年全国卷A题10

【解答】

本题图形是一个轴对称图形，x 轴是其对称轴。

记 AB,DE 的中点为 M,N，由勾股定理可得：

R^2=(\sqrt{5})^2+(\dfrac{p}{2})^2=x^2_A+(2\sqrt{2})^2

x^2_A=(\dfrac{p}{2})^2-3

注意点 A 坐标满足抛物线方程：

y^2=2px \Rightarrow y^4=4p^2x^2

(2\sqrt{2})^2=8^2=4p^2(\dfrac{p^2}{4}-3)=p^4-12p^2

p^4-12p^2-64=0

(p^2-16)(p^2+4)=0

p^2=16 \Rightarrow p=4

【提炼与提高】

本题涉及抛物线和圆的基本性质。
这个题的计算过程十分简单。背后体现的几何内涵却是很丰富的，值得细细地口味。

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