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三角之目：2016年理数山东卷题16

三角之目：2016年理数山东卷题16

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-29 22:54 被阅读0次

2016年理数山东卷题16

在 \triangle ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 2(\tan A + \tan B)= \dfrac{\tan A}{\cos B}+\dfrac{\tan B}{\cos A}.

（Ⅰ）证明：a+b=2c;

（Ⅱ）求 \cos C 的最小值.

【解答问题Ⅰ】

∵ 2(\tan A + \tan B)= \dfrac{\tan A}{\cos B}+\dfrac{\tan B}{\cos A}

∴ 2\tan A \cos A \cos B + 2 \tan B \cos A \cos B = \tan A \cos A + \tan B \cos B

∴ 2(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = \sin A + \sin B

∴ 2 \sin (A+B)=\sin A + \sin B

又∵ 在 \triangle ABC 中，A+B+C=\pi, ∴ \sin(A+B)=\sin C,

∴ 2\sin C = \sin A + \sin B

2 \times 2R \cdot \sin C = 2R\sin A + 2R\sin B

∴ 2c=a+b. 证明完毕.

【解答问题Ⅱ】

根据前节结论，a+b=2c, (a+b)^2=4c^2,

根据余弦定理，

\cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{(a+b)^2-c^2-2ab}{2ab}

=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{(a+b)^2}{4ab} -1

=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{(a+b)^2}{(a+b)^2-(a-b)^2}-1

\dfrac{(a+b)^2}{(a+b)^2-(a-b)^2} \geqslant 1, 仅当 a=b 时等号成立；

∴ \cos C 最小值为 1, 当 a=b 时 \cos C 取得最小值.

【提炼与提高】

本题涉及以下知识：

（1）正弦定理

（2）余弦定理

（3）三角恒等变换

（4）不等式及函数的最值

其中，求函数最小值的过程中用到了一些常用结论，请参考下文：

应用初中数学破解高考数学题：『二次项钻石』

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