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对数函数与指数函数：2015年理数全国卷A题13

对数函数与指数函数：2015年理数全国卷A题13

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-19 17:25 被阅读0次

2015年理数全国卷A题13

（13）若函数 f(x)=x \ln(x+\sqrt{a+x^2}) 为偶函数，则 a= \underline{\mspace{100mu}} .

【解析】

令 g(x)= \ln(x+\sqrt{a+x^2})，则 f(x)=x \cdot g(x)

因为 f(x) 是偶函数，所以 g(x) 为奇函数。所以

g(x) + g(-x) =0

\ln(x+\sqrt{a+x^2}) + \ln(-x+\sqrt{a+(-x)^2}) = 0

(x+\sqrt{a+x^2})(-x+\sqrt{a+x^2})=1

-x^2 +a + x^2=1

a=1

【提炼与提高】

解答本题需要通过以下关卡：

（1）奇函数的概念与性质：若函数 g(x) 为奇函数，则

\boxed{g(x)+g(-x)=0}

（2）函数作四则运算时的奇偶性：

两个奇函数相加得奇函数；两个奇函数相乘得偶函数；

两个偶函数相加得偶函数；两个偶函数相乘得偶函数；

奇函数与偶函数相乘得奇函数。

（3）1 的对数等于 0，也就是：\boxed{\ln 1 =0}

（4）对数的性质-化乘法为加法：\boxed{\ln (a \cdot b) = \ln a + \ln b}

（5）平方差公式：\boxed{(-a+b)(a+b)=-a^2+b^2}

第一步都不困难；整合到一起可能会稍销有点难.

注意这里的平方差公式，与我们多数情况下用的公式略有不同。高考中的分数差距往往就是由这些『略有不同』之处造成的.

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