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多面体与球：2016年全国卷C题10

多面体与球：2016年全国卷C题10

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-29 22:18 被阅读0次

2016年全国卷C题10

（10）在封闭的直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 内有一个体积为 V 的球. 若 AB \perp BC, AB=6, BC=8,AA_1=3，则 V 的最大值是

(A)4\pi \qquad (B)\dfrac{9\pi}{2} \qquad (C)6\pi \qquad (B)\dfrac{32\pi}{3}

【解析】

因为 AB \perp BC，根据勾股定理可知：CA=10

记 \triangle ABC 的内切圆半径为 r.

S_{\triangle ABC} = \dfrac {1} {2} AB \cdot BC = 24

= \dfrac {1} {2} r \cdot (AB+BC+CA) = 12 r

所以 r=2

内切圆的直径为 4, 而棱柱的高为 3，所以题中球体的直径 2R = 3.

其体积 V = \dfrac {4} {3} \pi R^3 = \dfrac{9\pi}{2}

结论：选项B正确。

【提炼与提高】

本题涉及这样一个问题：三角形的内切圆半径。

以上图为例说明如下。记 \triangle ABC 的内心为点 Q, 记内切圆的半径为 r, 则 \triangle ABC 可以拆分为三个三角形，这三个三角形的面积之积与 \triangle ABC 的面积相等，也就是：

S_{\triangle ABC} = S_{\triangle QAB} + S_{\triangle QBC} + S_{\triangle QAC}

\dfrac {1} {2} r \cdot (AB+BC+CA) = S_{\triangle ABC}

r = \dfrac { 2S_{\triangle ABC} } { (AB+BC+CA) }

本题值得重视的有以下两点：

内切圆的公式

面积方法

内切圆公式出场的机会不如外接圆那么多，部分考生可能不熟悉。这点需要注意一下。

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