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多面体与球：2013年全国卷A题6

多面体与球：2013年全国卷A题6

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-06 22:16 被阅读0次

2013年全国卷A题6

（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8\;cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6\; cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

(A)\dfrac{500\pi}{3}cm^3\qquad\;(B)\dfrac{866\pi}{3}cm^3
(C)\dfrac{1\,372\pi}{3}cm^3\qquad(D)\dfrac{2\,048\pi}{3}cm^3

2013年全国卷A题6

【解析】

如图所示，从侧视图上可以看出，

MA=4\,cm, MC =2\,cm

MC : MA : AC = 1:2:\sqrt{5}

AC:AD:CD = 1:2:\sqrt{5}

2R = CD = \dfrac {2 \sqrt{5} \times \sqrt{5}} {2}

R=5 cm

V=\dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{500\pi}{3}cm^3

结论：选项A正确。

【提炼与提高】

本题难度适中，适合用作补充习题。正确解答本题所需要克服的关卡如下：

第1关：熟悉正方体和球体的特点，并能根据已知条件画出侧视图。

第2关：分析侧视图，找出关键性的两个三角形。并根据这两个三角形的三边比求出 CD （也就是球体的直径）。

第3关：根据球体公式，求出球体的体积。

本题中用到了一个常用三角形，其三边比为：1:2:\sqrt{5}.

关于这个特殊的三角形，可以参考下文：

初高中衔接讲座：正方形内的直角三角形

这个形状特殊的三角形，在高考数学和高考物理题中经常出现，务必要牢记。

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