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多面体与球：2018年全国卷C题10

多面体与球：2018年全国卷C题10

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-27 22:56 被阅读0次

2018年全国卷C题10

10.设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，\triangle ABC 为等边三角形且其面积为 9\sqrt{3} ，则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为

A.12\sqrt{3}\qquad B.18\sqrt{3}\qquad C.24\sqrt{3}\qquad D.54\sqrt{3}

【解析】

如上图所示，当 D,O,G 三点共线时，三棱锥 D-ABC 体积取得最大值。

以 R 代表 \triangle ABC 的外接圆半径；以 r 代表球的半径.

S_{\triangle ABC} = \dfrac {1} {2} ab \sin C = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C

9\sqrt{3} = 2 R^2 ( \dfrac {\sqrt{3}} {2})^3

R^2=12

OG^2=r^2-R^2=4 \Rightarrow OG=2

DG=4+2=6

V_{D-ABC} = \dfrac {1} {3} \times 9\sqrt{3} \times 6 = 18\sqrt{3}

结论：选项B正确。

【提炼与提高】

本题难度适中，却也综合了几个方面的知识。假如细究本题的解答过程，可以看到以下考查内容：

第1关：空间想象力。考生必须清楚多面体与球的关系，小圆与大圆的关系。

第2关：熟练应用三角形的面积公式和三角函数知识，求出 \triangle ABC 的外接圆半径。

第3关：熟悉圆与弦的性质，应用『垂径定理』和『勾股定理』，求出 OG 的长。

第4关：应用棱锥的体积公式，求出 D-ABC 的体积。

从应试的角度来说，本题是常考题型的典型实例，一定要重视。

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