长斑的修道士

“The beauty of the universe consists not only of unity in variety, but also of variety in unity.” - Umberto Eco

“宇宙之美既有多样性的统一，也有统一性的多样。”—— 翁贝托·艾柯

已是黎明时分，阿尔卑斯山顶的茫茫积雪将初生的阳光返照到唱诗堂的彩窗上，刚刚熄灭的烛台上升起一丝袅袅的青烟。修道院院长清了清嗓子，用他惯用的沉稳的语气说：“或许你们还不知道，但我觉得现在应该是时候了。”他停顿了一下，台下静谧得仿佛能听到长袍偶尔带动的风声。

“你们中的一些人不幸患上了一种疾病，脸上长出了一些斑点，虽然不疼不痒不会传染，但我建议患病的人应该在夜里悄悄离开修道院，去进行治疗。”院长迎来了修道士们疑惑的目光，“是的，尽管如此，我们仍将遵守静默不语的修行。你们之间不可以交流，本院也没有镜子，每天的晨祷是你们看到修道院中所有其他人的唯一机会，除此以外你们别无信息可以参考。”

修道士们互相看了看，就匆匆赶往缮写室。第一天，就这么过去了。

当第二天烛台上的青烟宣告晨祷结束时，修道士们发现总人数并没有减少，这意味着昨夜并没有人离开。不过，这个情况似乎已在他们的意料之中，他们照常去抄经，就像什么事情都没有发生过。第二天，就这么过去了。

就这样一连平静地过了九天。第十天是个阴天，穿堂而过的冷风揉碎了烛台上的青烟，给晨祷结束后的人群带来了一丝不安的躁动：修道士们发现他们的人数变少了，有一些人在第九天的夜里悄悄地离开了修道院。

问题来了：在第九天夜里，一共有几个修道士离开了修道院？

在给出这道被我涂抹得面目全非的数学题的答案之前，我得简单介绍一下中世纪的修道院和修道士。

在中世纪，修道院既是教徒们的禁欲苦修之所，又是整个西方文明的文化中心。修道士们是那个年代为数不多的“知识分子”，他们承担着捍卫古典文化的重要任务，是中世纪文化知识的传播者和传承人。

在修道院的缮写室（scriptorium），担任缮写员的修道士使用鹅毛笔和羊皮卷，将圣经原稿、宗教文献以及古老的希腊和拉丁作品抄写下来，装订成册。除了抄写文字，他们往往还给书籍配上插图，偶尔也会在空白处留下自己的评述。正因为这个枯燥乏味的的抄写工作，很多古典文献得以经历中世纪的战火和动乱流传至今。

除了缮写室，中世纪的修道院还设有学校和图书馆，神职人员在这里得到关于宗教教义和古典文化的教育，他们在修道院内讨论学术问题，编写史学典籍，在修道院学校内教书育人，修道院成为了中世纪时期唯一的学术教育活动场所。随着世俗知识和宗教知识开始相互融合，这些修道院学校逐渐转变成为欧洲现代意义大学的前身，比如成立于1088年的博洛尼亚大学便是意大利乃至西方最古老的大学。

所以，中世纪的修道院并不总是像文学作品里描述的那么神秘、幽暗和压抑，它其实是欧洲古典文明的避难所，现代文明萌发的摇篮，中世纪的修道士是建筑师，是手工匠，是酿酒师，也是数学家。

好了，既然修道士们都是擅长数学的聪明人，让我们回到前面那道题：从前面几天的毫无动静，到第九天夜里患病修道士的集体离开，平静的修道院里到底发生了些什么？

我们先梳理一下题目给出的条件。一、根据院长的表述，修道士中至少存在一个病人。二、每个修道士都看不到自己的脸，不能直接确定自己是否患病，但是能看到所有其他人的脸，能知道其他人是否患病。三、修道士之间不能交流任何信息，但都思维缜密、行事符合逻辑。

好了，让我们从一个修道士的视角出发来分析这个问题。

假设我是一个修道士，我看到其他人中一共有3个人脸上长了斑，但我不知道自己脸上是不是也有斑点，所以我只能推断出一个不确定的结论，即整个人群中病人的人数要么是3（意味着我健康），要么是4（意味着我是病人）。

这种不确定结论在某个特定情况下将变成确定结论。试想一下，在院长公布消息的当天，如果我环顾四周，发现别人脸上都没有斑，那会怎么样？我会很恐慌，也会很确定。因为根据上面的推断，整个人群里病人人数要么是0，要么是1；而院长说了我们中间至少有一个病人，所以病人的人数就是1；而我看到别人脸上都没有斑，所以我一定就是那个唯一的病人。因此，我应该在第一天夜里就离开。

然而，第一天并没有人离开。这就意味着，所有人都在其他人中至少看到了1个病人，包括那个病人，病人的眼中应该至少还有其他1个病人。因此，人群中至少存在2个病人。

假设我还是那个修道士，在第一天我看到只有A的脸上长了斑，其他人都健康，所以我只能得到一个不确定的结论，即整个人群中病人的人数要么是1（意味着我健康），要么是2（意味着我和A都是病人），因为不能确定，所以第一天夜里我选择留下。到了第二天早上，我发现A也没有离开，说明他在第一天也只得到了一个不确定的结论，他的眼中也至少有1个病人，而我和A除了相互之外看到的都是相同的一群人，他们都是健康人，这就意味着A看到的病人只能是我。在这种情况下，我的不确定结论变成了确定性结论，我应该在第二天夜里离开。

然而，没有一个人在第二天夜里离开。这就意味着，没有人看到的都是健康人（否则他在第一天夜里就应该离开了），也没有人只看到1个病人（否则他在第二天夜里就应该离开了）；换句话说，所有人都在其他人中至少看到了2个病人；包括那些病人，病人的眼中也应该至少看到其他2个病人。因此，人群中至少存在3个病人。

以此类推，直到第九天早上人数还没有变化，所以所有人在第一天就看到了至少8个病人，人群中至少存在9个病人。

终于，在第九天夜里有人离开了，这说明有人在第九天早上推断出了自己是病人的结论。这些人的眼中只有8个病人，根据前面的推理，如果他自己是健康的话，他眼中的8个人应该在第八天夜里就离开。第八天夜里没有人离开，而这些人只看到了8个病人，这说明他们自己也是病人之一，即人群中一共有9个病人。

第九天的夜里，九个修道士罩上帽子，将双手笼入长袍，在风雪中走出修道院大门，在下山的小道上渐行渐远，消失在茫茫的黑暗之中。

这个中世纪修道院的神秘事件终于真相大白。综合朋友们的留言，我将这个话题再做一些延伸。

既然修道士们是中世纪唯一的“知识分子”，他们建造房屋、修订书籍、酿造美酒、长于逻辑和思辨，那么他们一定也掌握着当时最先进的医学知识。在院长宣布病情之前，他们已经观察到了某些修道士的脸上出现了斑点，出现了与常人不同的症状。问题是，在院长宣布之前，为什么没有人离开？院长的宣布给这个群体带来了额外的信息吗？

菲尔茨奖获得者、澳大利亚华裔数学家陶哲轩曾经研究过这个问题，所用的故事当然不是长斑的修道士，而是蓝眼睛岛上的客人，但是不论是修道士，还是蓝眼睛的客人，其背后的数学问题都是相同的。陶哲轩提到了两个概念，一个叫共识 （mutual knowledge），一个叫常识 （common knowledge），这两个概念之间的区别在于，前者是 （几乎） 所有人都知道的信息，而后者不仅 （几乎）所有人都知道，而且 （几乎） 所有人都知道其他人也都知道 这个共识，并且明白其他人也知道别人都知道这个共识，以此类推。

必须承认，定义读起来很拗口，让我们用修道士的例子来解释一下。

假设修道院里只有一个病人A。在院长宣布病情之前，对于A以外的其他修道士来说，他们都发现了A脸上有斑点，发生病情这个信息对于他们来说是个共识；但是因为无法交流，他们不能确认自己脸上是否也有斑点，也不能确认A所能看到的情况——事实上，A看到的所有人都很正常，所以A是唯一那个没有得到共识的人，同时，其他人也不知道A是不是知道这个共识，即整个修道士群体对于发生病情缺乏常识。

现在，修道院院长出马了，他宣布修道士中有人脸上长出了斑点，修道士中有人是病人。

对于那些健康的修道士来说，这个宣布似乎没有带来额外的信息，因为A的症状他们早就看在眼里了。不过从共识的角度上来说，这个宣布仍然带来了一点新的变化，那就是A也明白了有人生病的这个事实。更重要的是，请注意，从常识的角度上来看院长的宣布是决定性的，因为现在所有人（包括A！）都知道有人生病这个共识，而且所有健康的修道士也知道了A也知道了这个共识！

A知道有人生病这个共识是A在院长宣布后离开修道院的逻辑基础；而其他人知道所有人都知道共识的这个常识是后续推理的基础。本故事中一共有9个病人，基于常识的推理使得他们在第9夜确定了自己的病情。

抛开烧脑的修道士或蓝眼睛问题，一个我们耳熟能详的例子是“皇帝的新装”。

安徒生的故事中，皇帝没有穿衣服，这是围观群众的共识，但不是常识。围观群众看到皇帝赤身裸体，知道他没有穿衣服；但因为害怕被别人说自己是傻瓜（基于骗子裁缝的恐吓），围观群众之间没有信息的交流，也不知道其他人眼中的皇帝到底是不是穿着华贵的衣服，这是一个典型缺乏常识的例子。剧情发展的转折在哪里？在于那个孩子站出来喊了一句：皇帝没穿衣服呢！孩子在这个剧情中充当了院长的角色，他把共识通过口口相传传递到了每一个围观群众，于是群众们知道了其他人也知道皇帝赤身裸体这个共识。共识成为了常识，最后所有的围观群众都在说：“他实在是没有穿什么衣服呀！”

有意思的是，哪怕这个群体再小，缺乏交流也会成为一张窗户纸，成为共识变成常识的障碍。这样的情况经常发生在相互暗恋的异性之间，两个人都喜欢对方，但又不知道对方是否也喜欢自己，所以两个人的关系停留在相互暗恋的阶段，不会发展成为一对真正的恋人。在这个状态下，喜欢对方是共识，但缺乏知道对方也喜欢自己这个常识，这个时候如果有个“院长”或者“小孩”跳出来说，某某和某某互相喜欢呢！把这个信息传达到当事人双方，那么常识就可以被达成，朦胧羞涩的暗恋关系就可以发展到下一个阶段。

今天，2019年的高考已经结束。走出考场的孩子们如果心中有共识，记得一定要捅破这张窗户纸哦！

文/Athlon_BE
2019.6.8