函数与导数大题：2019年理数全国卷A题20
作者:
易水樵 | 来源:发表于
2022-05-18 20:29 被阅读0次2019年理数全国卷A题20
已知函数 %3D%5Csin%20x%20-%20%5C%20%5Cln(1%2Bx))
, )
为 )
的导数，证明：
（1） 在区间 )
存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有 2 个零点.
【解答问题1】
函数 的定义域为 )
.
%20%3D%20%5Ccos%20x%20-%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%7D)
%20%3D%20-%20%5Csin%20x%20%2B%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B(1%2Bx)%5E2%7D)
在区间 内，)
单调递减，
%3D1)
,
%3D-1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B(1%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)%5E2%7D%20%5Clt%200)
所以，当 %20%5Cgt%200)
, 在区间 )
内没有零点；
根据函数零点定理，在 ![[0,\dfrac{\pi}{2}]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B0%2C%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5D)
区间内，函数 有唯一的零点.
不妨记函数 在区间 的零点为 
, 则
当 %20%5Cgt%200)
, 函数 单调递增;
%3D0)
;
当 %20%5Clt%200)
,函数 单调递减;
所以，函数 在区间 存在唯一极大值点. 证明完毕.
【解答问题2】
%3D%5Ccos%20x%20-%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%7D)
%20%3D%20-%5Csin%20x%20%2B%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B(1%2Bx)%5E2%7D)
∵ 
, ∴ %20%5Clt%201)
;
%3D%5Csin%200-%5Cln%201%3D0)
%3D%5Csin%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cln(1%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)%20%5Cgt%200)
%3D%5Csin(e-1)-%5Cln%20e%20%5Clt%200)
%3D%5Ccos%200%20-%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2B0%7D%3D0)
%3D%20%5Ccos%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20-%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20%5Clt%200)
根据前节结论，函数 在区间内有唯一的零点 ，函数 在 )
区间单调递增，%20%5Cgt%200)
;
函数 在 )
单调递减，而 %20%5Cgt%200%2C%20f'(%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)%20%5Clt%200%2C)
∴ 函数 在 有唯一的零点 
.
在 )
区间，
, ∴ %20%5Clt%20-1)
, %20%5Clt%200)
;
在 )
区间，%20%5Cgt%200)
, 函数 %20%5Clt%20f'(0)%20%5CRightarrow%20f'(x)%20%5Clt%200)
, 函数 单调递减，%20%5Cgt%20f(0)%20%5CRightarrow%20f(x)%20%5Cgt%200)
;
在 )
区间，函数 , 函数 单调递增，;
在 )
区间，函数 %20%5Clt%200)
, 函数 单调递减，%20%5Cgt%20f(%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)%20%5CRightarrow%20f(x)%20%5Cgt%200)
;
在 )
区间，函数 , 函数 单调递减，%20%5Cgt%200%2C%20f(e-1)%20%5Clt%200)
;
在 区间，函数 有唯一的零点；
另外，%3D0)
, 这是 的另一个零点；
综上所述，函数 有且仅有 2 个零点. 证明完毕.
本文标题：函数与导数大题：2019年理数全国卷A题20
本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/mnaaurtx.html
网友评论