三棱柱：2013年文数全国卷B题18（12分）
如图，直三棱柱 中，
分别是
的中点.
（I）证明∶//平面
;
（Ⅱ）设 ，求三棱锥
的体积.
2013年文数全国卷B
【解答问题I】
连接 , 记
的交点为
.
连接 .
∵ 是直三棱柱,
∴ 是矩形，∴
是
的中点；
∵ 是
中点，
是
中点，
∴ 是
的中位线，
∵ ,
平面
,
∴ //平面
. 证明完毕.
【解答问题Ⅱ】
∵ ，
∴ 是正方形，
是等腰直角三角形；
∵ 是
的中点，∴
∵ 是直三棱柱, ∴
,
∴ 平面
∵ 是
的中点，
∴
.
【提炼与提高】
本题第1问，由中位线性质推出线线平行，再由线线平行推出线面平行。这在立体几何中是相当常用的一条思路。
成功解答第1问的关键有两点：
（1）具备一定的空间想象力，能迅速看出几个面的特征；
（2）熟悉平面几何中的相关定理。
第2问求四面体的体积，也是比较基础的问题。关键是要迅速地求出 的面积。
∵ 两点分别是
的中点，
∴
∴
矩形中的这个三角形，在最近十年的高考题中出现了多次。其求法也并不复杂，用到的时候一定要能迅速反应，不要犹豫拖延.
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