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三棱柱:2020年全国卷B题20

三棱柱:2020年全国卷B题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-17 16:32 被阅读0次

    三棱柱:2020年全国卷B题20

    分值:12 分

    如图,已知三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形,侧面 BB_1C_1C 是矩形,M,N 分别为 BC,B_1C_1 的中点,PAM 上一点,过 B_1C_1P 的平面交 ABE,交 ACF.

    (1)证明∶AA_1 // MN , 且平面 A_1AMN \perp 平面 EB_1C_1F;

    (2)设 O\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若AO // 平面 EB_1C_1F ,且 AO=AB,求直线 B_1E 与平面 A_1AMN 所成角的正弦值.

    2020年全国卷B

    【解答问题1】

    BB_1C_1C 是矩形,M,N 分别为 BC,B_1C_1 的中点,

    BB_1MN 是矩形,BB_1//MN,

    AA_1//BB_1,\; BB_1//MN,

    AA_1//MN.

    BB_1MN 是矩形,

    B_1N//MN,

    \triangle A_1B_1C_1 是正三角形, NB_1C_1 的中点,

    B_1N \perp AN,

    B_1N \perp AN, B_1N \perp MN, AN \cap MN=N,

    B_1N \perp 平面 A_1AMN

    又∵ B_1N \subset 平面 EB_1C_1F,

    ∴ 平面 A_1AMN \perp 平面 EB_1C_1F.


    【解答问题2】

    以点 M 为原点建立直角坐标系,并以 MA,MBx,y 轴,以向上为 z 轴正方向.

    BM=1, 则可得以下点的坐标:

    M(0,0,0), A(\sqrt{3},0,0), B(0,1,0),

    BC//B_1C_1, B_1C_1 \perp 平面 A_1AMN,

    B_1C_1 \perp 平面 A_1AMN,

    y_{_N}=0

    ABC, A_1B_1C_1 两平面的距离为 h,

    则点 N 的坐标可设为 N(t,0,h),

    相应地,平面 A_1B_1C_1 上几个点的坐标如下:

    B_1(t,1,h), A_1(t+\sqrt{3}, 0, h)

    AO // 平面 EB_1C_1F , 平面 AONP \;\cap平面 EB_1C_1F = NP ,

    AO //NP

    ∵ 平面 ABC // 平面 A_1B_1C_1

    平面 A_1AMN \;\cap 平面 ABC=AM

    平面 A_1AMN \;\cap 平面 A_1B_1C_1 =A_1N

    AM//A_1N

    AM//A_1N, AO //NP,

    AONP 是平行四边形, ON=AP, 由此确定以下坐标:

    O(t+ \dfrac {\sqrt{3}}{3}, 0, h)

    E(\dfrac{2}{3}\sqrt{3}, \dfrac{1}{3}, 0)

    \overrightarrow{EB_1}=(t-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}, \dfrac{2}{3}, h)

    AO=AB

    (t- \dfrac{2}{3}\sqrt{3})^2+h^2=4

    | \overrightarrow{EB_1}|^2=\dfrac {40}{9}, \; |\overrightarrow{EB_1}|=\dfrac {2}{3} \sqrt{10}

    BC \perp平面 A_1AMN ,

    ∴ 平面 A_1AMN 的法向量为 \overrightarrow{m}=(0,1,0)

    \cos<\overrightarrow{EB_1}, \overrightarrow{m}> \dfrac {\overrightarrow{EB_1} \cdot \overrightarrow{m}} { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{m}|} = \dfrac {1}{\sqrt{10}}

    ∴ 直线 B_1E 与平面 A_1AMN 所成角的正弦值为 \dfrac {\sqrt{10}}{10}.


    【提炼与提高】

    在问题1的解答过程中,平面几何的几个常用命题起到了重要作用,我们小结一下:

    「矩形是一类特殊的平行四边形,它具有以下性质:」

    「矩形的对边平行且相等;」

    「矩形的四个内角都等于 90°;」

    等腰三角形具有三线合一的性质,具体说来就是:

    「等腰三角形底边上的中线与底边垂直。」

    在问题1中还用到了立体几何的以下知识:

    「平行的传递性」:如何两条直线都与同一条直线平行,则这两条直线相互平行;

    「垂直的转换」:由线线垂直推出线面垂直,由线面垂直推出面面垂直。


    问题2显然是一个适合用向量方法来解决的问题。

    在此过程中需要用到以下几何知识:

    由线面平行推出线线平行:AO // 平面 EB_1C_1F \Rightarrow AO//PN

    正三角形的性质:正三角形的外心、内心、垂心和重心合一,称为正三角形的中心;所以 ON:A_1N=1:3.

    在问题2的解答过程中需要避开一个易错点:虽然侧面 BB_1C_1C 是矩形,但 AA_1B_1B, AA_1C_1C 不一定是矩形,MN 与平面 ABC 也不一定是垂直的。有部分学生可能会自己添加条件,从而造成丢分.


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