三棱柱:2020年全国卷B题20
分值:12 分
如图,已知三棱柱 的底面是正三角形,侧面 是矩形, 分别为 的中点, 为 上一点,过 和 的平面交 于 ,交 于 .
(1)证明∶ , 且平面 平面 ;
(2)设 为 的中心. 若 // 平面 ,且 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
2020年全国卷B【解答问题1】
∵ 是矩形, 分别为 的中点,
∴ 是矩形,,
∵ ,
.
∵ 是矩形,
∴ ,
∵ 是正三角形, 是 的中点,
∴ ,
∵ ,
∴ 平面
又∵ 平面 ,
∴ 平面 平面 .
【解答问题2】
以点 为原点建立直角坐标系,并以 为 轴,以向上为 轴正方向.
令 , 则可得以下点的坐标:
∵ 平面 ,
∴ 平面 ,
∴
设 两平面的距离为 ,
则点 的坐标可设为 ,
相应地,平面 上几个点的坐标如下:
∵ // 平面 , 平面 平面 ,
∴
∵ 平面 平面
平面 平面
平面 平面
∴
∵ , ,
∴ 是平行四边形, , 由此确定以下坐标:
∵
∴
∵ 平面 ,
∴ 平面 的法向量为
∴ 直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【提炼与提高】
在问题1的解答过程中,平面几何的几个常用命题起到了重要作用,我们小结一下:
「矩形是一类特殊的平行四边形,它具有以下性质:」
「矩形的对边平行且相等;」
「矩形的四个内角都等于 ;」
等腰三角形具有三线合一的性质,具体说来就是:
「等腰三角形底边上的中线与底边垂直。」
在问题1中还用到了立体几何的以下知识:
「平行的传递性」:如何两条直线都与同一条直线平行,则这两条直线相互平行;
「垂直的转换」:由线线垂直推出线面垂直,由线面垂直推出面面垂直。
问题2显然是一个适合用向量方法来解决的问题。
在此过程中需要用到以下几何知识:
由线面平行推出线线平行: // 平面
正三角形的性质:正三角形的外心、内心、垂心和重心合一,称为正三角形的中心;所以 .
在问题2的解答过程中需要避开一个易错点:虽然侧面 是矩形,但 不一定是矩形, 与平面 也不一定是垂直的。有部分学生可能会自己添加条件,从而造成丢分.
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