四棱锥：2016年理数北京卷题17

四棱锥：2016年理数北京卷题17

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-10 00:02 被阅读0次

四棱锥：2016年理数北京卷题17

（17）（本小题14 分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA \perp PD, PA=PD$ , $AB \perp AD$ , $AB=1,AD=2,AC=CD=\sqrt{5}$ .

2016年理科数学北京卷题17

（Ⅰ）求证∶ $PD \perp$ 平面 $PAB$ ;

（Ⅱ）求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值;

（Ⅲ）在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $BM$ // 平面 $PCD$ ? 若存在，求 $\dfrac{AM}{AP}$ 的值；若不存在，说明理由.

【解答问题Ⅰ】

∵ 平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$ ，平面 $PAD \;\cap$ 平面 $ABCD=AD$ ， $AB \perp AD$

∴ $AB \perp$ 平面 $PAD$ .

又∵ $PA \subset$ 平面 $PAD$ ,

∴ $AB \perp PD$ .

∵ $AB \perp PD, PA \perp PD$ , $AB \cap PA=A$ ,

∴ 求证∶ $PD \perp$ 平面 $PAB$ . 证明完毕.

【解答问题Ⅱ】

作 $AD$ 中点 $Q$ . 记点 $B$ 与平面 $PDC$ 的距离为 $h$ .

则 $V_{B-PDC} = \dfrac {1} {3} S_{\triangle PDC} \cdot h$

∵ $AC=CD=\sqrt{5}, QA=QD$ , ∴ $QC \perp AD$ .

∵ $\triangle PAB, \triangle PQC, \triangle QDC$ 是直角三角形，用勾股定理可求得：

$PB=\sqrt{3}$

$QC=2$

$PC=\sqrt{5}$

$\triangle PDC$ 是等腰三角形，其三边长为 $\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{5}$

$S_{\triangle PDC} = \dfrac {1}{2} \times \sqrt{2} \times \dfrac {3} {\sqrt{2}} = \dfrac {3} {2}$

$S_{ABCD}=S_{ABCQ} + S_{\triangle CQD} = \dfrac {5} {2}$

$S_{\triangle ABD}=\dfrac {1} {2} \times AB \times AD = 1$

$S_{\triangle BCD} = S_{ABCD} - S_{\triangle ABD} = \dfrac {3}{2}$

$V_{B-PDC} = V_{P-BCD}= \dfrac {1}{3} S_{\triangle BCD} \cdot PQ = \dfrac {1} {2}$

$h = \dfrac {3 V_{B-PDC}} {S_{\triangle PDC}} = 1$

∴ 直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值

$=\dfrac {h} {PB} = \dfrac {\sqrt{3}} {3}$

【解答问题Ⅲ】

在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $BM$ // 平面 $PCD$ ，等效于：

在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B,M$ 两点与平面 $PCD$ 的距离相等，又等效于：

$V_{B-PDC} = V_{M-PDC}$

$S_{\triangle ADC} = \dfrac {1} {2} \times AD \times QC = 2$

$V_{A-PDC} = V_{P-ADC} = \dfrac {1} {3} \times S_{\triangle ADC} \times PQ = \dfrac {2} {3}$

$\dfrac {PM}{PA} = \dfrac {S_{\triangle PDM}} {S_{\triangle PDA}} = \dfrac {V_{M-PDC}} {V_{A-PDC}} = \dfrac {3}{4}$

结论：存在符合要求的点 $M$ , $\dfrac{AM}{AP}=\dfrac{3}{4}$ .

【提炼与提高】

灵活应用面积公式和体积公式，可以解决很多问题，如：线面角问题、平行问题。

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2018年文数全国卷A题18

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