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三角之目：2013年福建卷题21

三角之目：2013年福建卷题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-14 22:40 被阅读0次

2013年福建卷题21

在等腰直角 \triangle OPQ 中，\angle POQ=90°,OP=2\sqrt{2}，点 M 在线段 PQ 上.

（1）若 OM=\sqrt{5}，求 PM 的长.

（2）若点 N 在线段 MQ 上，且 \angle MON=30°，问：当 \angle POM 取何值时，\triangle OMN的面积最小？并求出面积的最小值。

【解答第1问】

由题设条件可知：\cos \angle P = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

根据余弦定理：|OM|^2 = |PM|^2 + |PO|^2 - 2 |PM| \cdot |PO| \cos \angle P

5= |PM|^2 -4 |PM| + 8

(|PM|-1)(|PM|-3)=0

所以， PM 的长度有两个解：1 或者 3.

【解答第2问】

\boxed{\mathbb{Q}} 哪些量在变化？哪些量不变？变化的量之间有何关系？

\triangle OPQ 中，三条边和三个角都不变化；

\triangle OMN 中：

\angle MON 不变；

OM,ON,MN 三条边在变，但 MN 边上的高 （ MN 与点 O 的距离）不变；

\angle M, \angle N 在变，但 \angle M+\angle N 不变；

记 MN 边上的高为 h, 则 h=\dfrac{\sqrt{2}}{2} OP =2

h= |OM| \sin N = |ON| \sin M

S_{\triangle OMN} = \dfrac{1}{2} |OM| \cdot |ON| \sin \angle MON = \dfrac{1}{4} |OM| \cdot |ON|

|OM|\cdot |ON|= \dfrac{h^2} {\sin M \sin N}

\sin M \sin N = \dfrac{1}{2} \cos(M-N) - \dfrac{1}{2} \cos(M+N)

点 N 在线段 MQ 上，且 \angle MON=30°，

M+N=180°-30°, -30° \leqslant M-N \leqslant 30°

\cos(M+N)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\sin M \sin N \leqslant \dfrac{1}{4}(2+\sqrt{3})

S_{\triangle OMN} \geqslant \dfrac{h^2}{2+\sqrt{3}}

S_{\triangle OMN} \geqslant 4(2-\sqrt{3})

当 \angle OMN=\angle ONM=75° 时，面积取最小值. 此时，\angle POM=30°

结论：当 \angle POM=30° 时，\triangle OMN的面积最小？面积的最小值为：4(2-\sqrt{3}).

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