三角之目：2013年福建卷题21

三角之目：2013年福建卷题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-14 22:40 被阅读0次

2013年福建卷题21

在等腰直角 $\triangle OPQ$ 中， $\angle POQ=90°,OP=2\sqrt{2}$ ，点 $M$ 在线段 $PQ$ 上.

（1）若 $OM=\sqrt{5}$ ，求 $PM$ 的长.

（2）若点 $N$ 在线段 $MQ$ 上，且 $\angle MON=30°$ ，问：当 $\angle POM$ 取何值时， $\triangle OMN$ 的面积最小？并求出面积的最小值。

【解答第1问】

由题设条件可知： $\cos \angle P = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

根据余弦定理： $|OM|^2 = |PM|^2 + |PO|^2 - 2 |PM| \cdot |PO| \cos \angle P$

$5= |PM|^2 -4 |PM| + 8$

$(|PM|-1)(|PM|-3)=0$

所以， $PM$ 的长度有两个解： $1$ 或者 $3$ .

【解答第2问】

$\boxed{\mathbb{Q}}$ 哪些量在变化？哪些量不变？变化的量之间有何关系？

$\triangle OPQ$ 中，三条边和三个角都不变化；

$\triangle OMN$ 中：

$\angle MON$ 不变；

$OM,ON,MN$ 三条边在变，但 $MN$ 边上的高（ $MN$ 与点 $O$ 的距离）不变；

$\angle M, \angle N$ 在变，但 $\angle M+\angle N$ 不变；

记 $MN$ 边上的高为 $h$ , 则 $h=\dfrac{\sqrt{2}}{2} OP =2$

$h= |OM| \sin N = |ON| \sin M$

$S_{\triangle OMN} = \dfrac{1}{2} |OM| \cdot |ON| \sin \angle MON = \dfrac{1}{4} |OM| \cdot |ON|$

$|OM|\cdot |ON|= \dfrac{h^2} {\sin M \sin N}$

$\sin M \sin N = \dfrac{1}{2} \cos(M-N) - \dfrac{1}{2} \cos(M+N)$

点 $N$ 在线段 $MQ$ 上，且 $\angle MON=30°$ ，

$M+N=180°-30°$ , $-30° \leqslant M-N \leqslant 30°$

$\cos(M+N)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin M \sin N \leqslant \dfrac{1}{4}(2+\sqrt{3})$

$S_{\triangle OMN} \geqslant \dfrac{h^2}{2+\sqrt{3}}$

$S_{\triangle OMN} \geqslant 4(2-\sqrt{3})$

当 $\angle OMN=\angle ONM=75°$ 时，面积取最小值. 此时， $\angle POM=30°$

结论：当 $\angle POM=30°$ 时， $\triangle OMN$ 的面积最小？面积的最小值为： $4(2-\sqrt{3})$ .

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