积分题11

作者: Raow1 | 来源:发表于2021-01-05 00:46 被阅读0次

积分题11
积分题
积分题5
积分题4
积分题3
积分题2
积分题1
积分题6
积分题12
积分题13

2019-2-5. 计算曲面 $S=\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 : z=x^2+y^2 \leq 2x \}$ 的质量。密度为 $\rho = \frac{z}{\sqrt {1+4z}}$ 。坐标系为笛卡尔直角坐标系。

由题，即计算 $\iint\limits_{S} \rho \mathrm d S$
$\begin{align*} \iint\limits_{S} \rho \mathrm d S &= \iint\limits_{D_{xy}} \frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}} \sqrt{1+4x^2+4y^2} \mathrm dx \mathrm dy \\ &= \iint\limits_{x^2+y^2 \leq 2x} (x^2+y^2) \mathrm dx \mathrm dy \\ &\xlongequal[y=\rho \sin{\theta}]{x=\rho \cos{\theta}} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm d \theta \int_0^{2\cos \theta} \rho ^3 \mathrm d \rho \\ &= 8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^4 \theta \mathrm d \theta \\ &= \frac{3\pi}{2} \end{align*}$
或者在换元那一步改变一下，就不需要用到点火公式：
$\begin{align*} \iint\limits_{S} \rho \mathrm d S &= \iint\limits_{D_{xy}} \frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}} \sqrt{1+4x^2+4y^2} \mathrm dx \mathrm dy \\ &= \iint\limits_{x^2+y^2 \leq 2x} (x^2+y^2) \mathrm dx \mathrm dy \\ &\xlongequal[y=\rho \sin{\theta}]{x=\rho \cos{\theta}+1} \int_0^1 \rho \mathrm d \rho \int_0^{2\pi} (\rho ^2 +1 + 2 \rho \cos \theta) \mathrm d \theta \\ &= 2\pi \int_0^1 (\rho ^3 + \rho) \mathrm d \rho \\ &= \frac{3\pi}{2} \end{align*}$

积分题11
2019-2-5. 计算曲面的质量。密度为。坐标系为笛卡尔直角坐标系。由题，即计算或者在换元那一步改变一下，就不...
积分题
求积分：计算量很有点大的一道积分题。
积分题5
求积分：
积分题4
求积分：
积分题3
求积分：
积分题2
求积分：如果是形如也可以用一样的方法，然后用点火公式计算。
积分题1
求积分：
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求积分：所以，所以，
积分题12
2018-2-6. 对于区域。计算。由高斯公式知：
积分题13
2018-1-6. 对于区域。计算。由高斯公式知：

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2019-2-5. 计算曲面 $S=\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 : z=x^2+y^2 \leq 2x \}$ 的质量。密度为 $\rho = \frac{z}{\sqrt {1+4z}}$ 。坐标系为笛卡尔直角坐标系。

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