向量方法：2012年理数北京卷题16

向量方法：2012年理数北京卷题16（14分）

如图1，在 中，， 分别是 上的点，且 ， 将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.

（Ⅰ）求证：平面 ;

（Ⅱ）若 是 的中点，求 与平面 所成角的大小;

（Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 垂直？说明理由.

2012年理科数学北京卷

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【解答问题Ⅰ】

∵ ,
∴

又 ∵ ,
∴

又 ∵ ,
∴

∵

∴ 平面

又 ∵ 平面

∴

∵

∴ 平面 . 证明完毕.

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【建立坐标系】

由题设条件可知：

∵ ,
∴

以点 为原点， 为 轴建立直角坐标系，各点坐标如下：

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【解答问题Ⅱ】

可令平面 的法向量为：

验算一下

求法向量是出错率高的操作，我们可以用内积验算一下：

验算通过.

结论： 与平面 所成角为 .

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【解答问题Ⅲ】

因为点 在线段 上，所以可设其坐标为 ，

令平面 的法向量为

若两平面垂直，则

解得：

∴ 点 坐标为 , 在线段 之外.

结论：线段 上不存在满足条件的 点.

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【求平面 的法向量：内积法】

在以上解答过程中，平面的法向量是用外积法求出的。以下展示内积法求法向量。

设平面 的法向量为 , 则

于是可得方程如下：

∴

这一结论与前面用外积法得出的结论一致。

求平面 的法向量也可以用内积法。

设平面 的法向量为 , 则

于是得到方程：

令 , 则

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【提炼与提高】

在问题Ⅰ中，我们由线线垂直推出线面垂直；由线面垂直推出新的线线垂直；最后推出题目要求的线面垂直关系。

这样的推导在立体几何中十分常见。

问题Ⅱ和问题Ⅲ比较适合用向量法来解答；用向量法的基础是建立坐标系。在本题中， 两两垂直，所以，就以这三条直线作为三个坐标轴。

求平面的法向量有两种方法：内积法和外积法。在本题中，我们选择外积法求解，再用内积法验算。

高中引入向量方法后，为一些复杂问题的解答提供了一个高效率的工具。但在解题实践中，相当一部分学生有这样的困扰：向量方法很容易上手，同时也很容易出错。笔者推荐两种解决办法：

（1）用外积法计算，用内积验算；

（2）用外积法和内积法分别计算，互相校验。

读者可以自行尝试。

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