向量方法：2012年理数北京卷题16

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-12 09:06 被阅读0次

向量方法：2012年理数北京卷题16（14分）

如图1，在 $Rt \triangle ABC$ 中， $\angle C=90°, BC=3, AC=6$ ， $D,E$ 分别是 $AC,AB$ 上的点，且 $DE//BC$ ， $DE=2.$ 将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起到 $\triangle A_1DE$ 的位置，使 $A_1C \perp CD$ ，如图2.

（Ⅰ）求证： $A_1C \perp$ 平面 $BCDE$ ;

（Ⅱ）若 $M$ 是 $A,D$ 的中点，求 $CM$ 与平面 $A_1BE$ 所成角的大小;

（Ⅲ）线段 $BC$ 上是否存在点 $P$ ，使平面 $A_1DP$ 与平面 $A_1BE$ 垂直？说明理由.

2012年理科数学北京卷

【解答问题Ⅰ】

∵ $\angle C=90°，DE//BC$ ,
∴ $AD \perp DE$

又 ∵ $\triangle A_1DE \cong \triangle ADE$ ,
∴ $A_1D \perp DE$

又 ∵ $DE//BC$ ,
∴ $A_1D \perp BC$

∵ $A_1D \perp BC, CD \perp BC, A_1D \cap CD =D$

∴ $BC \perp$ 平面 $A_1CD$

又 ∵ $A_1C \subset$ 平面 $A_1CD$

∴ $A_1C \perp BC$

∵ $A_1C \perp BC, A_1C \perp CD, BC \cap CD=C$

∴ $A_1C \perp$ 平面 $BCDE$ . 证明完毕.

【建立坐标系】

由题设条件可知： $CD=2, AD=A_1D=4$

∵ $A_1C \perp BC$ ,
∴ $A_1C=2\sqrt{3}$

以点 $C$ 为原点， $CB,CD,CA_1$ 为 $x,y,z$ 轴建立直角坐标系，各点坐标如下：

$C(0,0,0),B(3,0,0),A_1(0,0,2\sqrt{3}),$

$D(0,2,0),E(2,2,0),M(0,1,\sqrt{3}),$

$\overrightarrow{BE}=(-1,2,0),$

$\overrightarrow{BA_1}=(-3,0,2\sqrt{3}),$

$\overrightarrow{DA_1}=(0,-2,2\sqrt{3}),$

$\overrightarrow{CM}=(0,1,\sqrt{3}),$

【解答问题Ⅱ】

$\overrightarrow{BE} \times \overrightarrow{BA_1}$
$= -2\sqrt{3}(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k}) -6(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{i}) +4\sqrt{3}(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k})$

$=4\sqrt{3}\overrightarrow{i} +2\sqrt{3}\overrightarrow{j} +6\overrightarrow{k}$

可令平面 $A_1BE$ 的法向量为： $\overrightarrow{m} = (2,1,\sqrt{3})$

验算一下

求法向量是出错率高的操作，我们可以用内积验算一下：

$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{BE}=-2+2+0=0$

$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{BA_1}=-6+0+6=0$

验算通过.

$|\overrightarrow{m}|=2\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{CM}|=2$

$\dfrac {\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{m}} {|\overrightarrow{CM}| \cdot |\overrightarrow{m}|} = \dfrac {\sqrt{2}} {2}$

结论： $CM$ 与平面 $A_1BE$ 所成角为 $45°$ .

【解答问题Ⅲ】

因为点 $P$ 在线段 $BC$ 上，所以可设其坐标为 $P(t,0,0)$ ，

$\overrightarrow{DP}=(t,-2,0)$

$\overrightarrow{DA_1}=(0,-2,2\sqrt{3})$

$\overrightarrow{DP}\times\overrightarrow{DA_1}$

$= -2t(\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{j}) +2\sqrt{3}t(\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{k}) -4\sqrt{3} (\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{k})$