（8.3）James Stewart Calculus 5th

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Applications to Physics and Engineering 应用物理和工程

一些扯淡的，略

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Hydrostatic Pressure and Force 水压和力

一些表示：
体积 V：（底面积 x 深度）

质量m： （密度 x 体积 = 密度 x 底面积 x 深度）

所以，有：

对应的单位面积压力为：

例如：
水的密度为：

我们在2米深度的压力为：

流体压力重要原则：

any point in a liquid the pressure is the same in all directions
液体中任何点在任何方向收到的压力是相同的。

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例子1

图2中，大坝收到的水的压力

应该就是每一段收到的压力的和：

根据图，我们可以得到简单的式子：

化简得到：

这个时候，我们可以知道
第i段，对应的水坝的宽度为：

纵切面积为：

对应的压力：

所以，第i层压力Fi 为：

最后，F为 所有力的求和：

（其实，个人觉得，坝的压力，不应该是这一面的.....）

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Moments and Centers of Mass 瞬时和质量的中心

（这个moment自己也不知道怎么翻译....暂时就翻译为瞬时， 因为后面感觉对应的mass质量， 都表示的是 瞬时质量。 或者之前有瞬时速度）
一个平面，一般都会有一个中心点：

如果是一个rod杆子， 则会遵循
m1d1 = m2d2

也就是 阿基米德 发现的 杠杆定律

这个时候，如果对应的支点在x轴上
例如：

化简，可以得到：

这里，只是m1 和 m2 这2个点的重量
而这个rod杆子，是n个点的组合体
如果按n个点去计算，可以得到：

这里， m是所有点质量的和
如果 M 用下面表示：

则，上面的式子，可以写成：

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上面只是 x轴方向的
因为只是一个rod杆子，也可以理解为 围绕y轴平衡（y轴系统）

如果是一个平面（例如这个图）

则需要考虑2个方向的平衡
也就是 y轴系统的瞬时质量， x轴（方向）瞬时质量
【y轴系统 就和 上面那个rod杆子一样， x轴系统，可以旋转90度理解】

这个时候， 如果对应的中心点为

则有：

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例子3

这个时候，我们只通过 Mx My ，再去求即可：

总质量为：

分别求出中心点 坐标，

所以，对应的中心点为：

图像大体为：

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其实，对应的平面上，会遵循一个 The symmetry principle 对称原则
也就是前面有说到的
如果在 一条线上，左右对称
如果在 一个平面上，需要在2个区域单独确认对应瞬时的和

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假设在 区域R中（图a）

如果，我们把[a, b]区间， 分为 n 份（图b）

这个时候，对应 第i个小矩形， x的中点为：

对应的面积为：

对应的质量为：

我们先来看一下 y轴的系统（我们知道y轴系统，需要看x值）
所以

其实也很好理解， 和上面一样

这个时候，我们把所有y轴系统的瞬时值求和：

同理，我们可以看一下x轴系统（对应的质量都是一样的，只是 x值换成了f(x) ）
因为之前质量已经有了一个f(x) 这个时候，就会有一个 平方了

这个时候，我们把所有x轴系统的瞬时值求和：

而整个质量m为：

所以：

和上面表示一样，只是把分母用A表示了
一般可以表示为（分母的积分，其实就是面积A）

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例子4

找出这个半径为r的半圆的质量中心位置

• 由于半圆x轴方向是对称的，所以，质量的中心点的x值，肯定为x方向的中点，也就是 x=0
• 容易知道 面积A 为 πr^2/2

公式

所以，我们有：

所以中心点为：

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例子5

我们可以知道，对应 x是从 0 到 π/2， y是从 cosx 到 0
首先，我们可以求出面积A

再分别求出 x ， y 方向的中点：

所以，质量中心点为：

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两个函数组合成的中心点

同理，和上面的方式一样，分别在2个方向去找质量中心，可以得

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例子6

可以知道大体图像为：

我们可以知道，它们的交点为(0,0) 和 (1,1)
首先，我们还是先求面积A

再分别求出 x ， y 方向的中点：

所以，对应的中点为：
(1/2 , 2/5)

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Theorem of Pappus 冠毛定理...

大体也就是：
一个面 围绕 一条直线 旋转，形成一个体积V
这个时候， 那个面的面积为A， 旋转后对应面中心点移动的距离为d
则， V = Ad

简单证明

第6章，我们简单有一个公式

这个时候，如果是由2个函数组成的，则有

其实，这个时候化简后
就已经得到证明。

其中

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例子7

我们得到上面的结论以后
就不用按原来的方式去求积分了
直接可以通过V = Ad
也就是

得到体积。