分数的引入离不开"包含除"

7月22日，阅读《小学数学教材中的大道理》P107-115

今天继续阅读课题7，究竟为什么要学习分数，教材交代得不大清楚。昨天阅读了张奠宙老师的原始文稿，今天阅读一线回声和数方夜谈。

倪国平老师回应张老师的文章是《怎么解决绳子剩余长度的表示问题——也谈分数与包含处的关系》。重点对"剩余绳子不足一节，怎么记？"这个问题展开阐述。

倪老师对张老师的观点还是比较赞同的。

他觉得教材安排的两个情境，让学生体会到分数是在人们实际度量进行平均分的过程中产生的，从而丰富了学生对分数的认识，这样的编排很有意义。但同时觉得"剩余绳子不足一节怎么记"是教材编排的一个缺陷。

关于包含除，倪老师也觉得应该多补充一些例子，这样可以丰富学生对分数的认识，还可以让学生通过计算或测量经历平均分的过程，加深对分数意义的理解。

最后倪老师还分享了怎么解决"剩余绳长"的问题。他觉得可以借助分数与除法的关系来解决。因为，"剩下绳子的长度是几分之几节"实际上问的是"剩下绳子的长度占一节绳子长度的几分之几"，这是求一个数占另一个数的几分之几，与求一个数是另一个数的几倍的方法相同，都是用这个数去除以另一个数。

当然基于人教版的教材编排顺序，还是要从"分数的意义"学习中加以解决。

倪老师说，分数的意义定义的核心是平均分。关于剩余绳长的问题，不管用哪一种情况来解决，都可以让学生在讨论剩余绳子长度表示问题的过程中，进一步体会分数是在度量与平均分过程中产生的，从而加深其对分数意义的理解。

后面几位老师的围桌夜谈，对分数的意义，分数的引入教学进行了深入的探讨，特别强调分数的引入离不开"包含除"。

张园老师觉得，分数首先是分东西，然后才是度量。

任敏龙老师觉得，把"分"和"取"作为分数最初的起源是有道理的。

巩子坤老师关于分数教学的两条线索的小结，值得记录一下:分数教学发展的两条线索，一条是内涵扩充线索，从“分”和“取”到作比较；还有一条是形式扩展线索，从真分数拓展到假分数和带分数。前一段教学以“分”和“取”的真分数为主，后一段教学要突出比较和由此产生的假分数、带分数。

任敏龙老师觉得第一段分数学习也应该有等分和包含两种模型。等分模型告诉学生分数是什么，包含模型需要学生探索如何用分数表示。

张奠宙老师强调:问题是数学的心脏。把除法和分数的模型简单化，对于解释数学的本质是有害的。除法有等分除和包含除之分;分数有"量的意义"和"率的意义"之分。教师和学生都要明白才好。

分数的意义如何教学？通过几位老师的分析和讨论，我们有一个比较清晰的思路。在教材没有给足材料之时，教学中我们也可以有意识地添加一些对学生思维发展有益的素材。帮助学生更好的理解分数的意义。