第八讲“欧几里得几何的再认识”1

读《数学基本思想18讲》第八讲“欧几里得几何的再认识”。思考几个问题:

欧几里得几何在数学史上占据了怎样的地位？它对后来的数学发展产生了哪些重要影响？

欧几里得几何在数学史上具有重要地位，是古典数学基础及现代数学重要组成部分。

《几何原本》对数学发展产生深远影响。它提供了公理化方法，从基本公理和定义出发，通过逻辑推理得出重要几何定理，广泛应用于数学及其他学科。

欧几里得几何的发展推动了数学其他分支的发展，如非欧几何。其思想和方法也影响了物理学、工程学等学科，如在物理学中描述空间时间关系，在工程学中解决实际问题。

非欧几里得几何是如何兴起的？它与欧几里得几何有何不同，非欧几里得几何的兴起对数学和哪些重要影响？

非欧几里得几何的崛起源于对欧几里得几何公理的质疑与扩展。欧几里得几何构建了基于公理如平行公理的经典几何体系。然而，数学家们开始对这些公理提出疑问，并探索公理变化下的几何形态。

非欧几里得几何的两大分支为椭圆几何（黎曼）和双曲几何（罗巴切夫斯基），均违反平行公理。此几何的兴起对数学产生深远影响，扩展了空间理解，增强了数学的多样性与丰富性，并为后续数学发展提供了新思路与工具。

同时，非欧几里得几何在物理学、天文学和地理学等领域有实际应用，如广义相对论和宇宙学。此外，它的兴起也推动了数学其他分支如拓扑学、微分几何和代数几何的发展。

非欧几里得几何的崛起不仅影响数学本身，也丰富了其他科学领域和对世界的认知。

每日金句

回顾几何学产生的背景可以知道，几何学的本质是研究空间的图形，研究图形的性质以及图形之间的关系。其中有两个内容是极为重要的：一个是关于图形全等，一个是关于平行线。前者引发了图形的变换，后者决定了空间是平直的还是弯曲的。

——史宁中，数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016：88