数的世界与理性的升华——读《数学基本思想18讲》

第四讲“无理数的刻画与实数理论的建立”

读这一讲，我了解了数学理论如何从一个简单的概念逐渐抽象、扩充，直至形成一个完整、严谨的体系。读罢，我对于“数”这一基本概念有了更深刻的认识，同时也对于数学理论体系的建设产生了更多的思考。

数学，作为一门对“数”进行研究的学科，其理论体系的建立是一个不断抽象、扩充的过程。从最初的自然数，到有理数，再到无理数，每一个阶段都是对“数”这一概念更深入、更全面的理解。自然数是对数量的刻画，它反映了我们对于“有多少”这一基本问题的朴素认知。有理数则是对比例的刻画，它帮助我们解决了“怎样分配”这类更为复杂的问题。而无理数，作为对度量的刻画，更是将我们的认知从有限拓展到了无限，让我们能够描述那些不能用有限数字表达的“数”。

在这个过程中，数学运算，特别是四则运算和极限运算，起到了至关重要的作用。它们不仅使得数的运算成为可能，更在某种程度上推动了数学理论体系的发展。基于数量与数量之间的关系，我们发展出了四则运算，这些运算为我们提供了一种理解和处理数量的工具。而随着数学的发展，我们遇到了更多的挑战，比如如何合理解释极限运算。为了解决这一问题，我们不得不将有理数集合扩充为实数集合，从而建立了一个更加完备的数学理论体系。

这一过程不仅是数学理论的发展，更是一种思维方式的转变。从感性具体到理性具体，再到理性一般，数学理论体系的建立是一个不断上升、不断抽象的过程。它反映了人类对于“数”这一基本概念的深入理解和探索，也体现了人类思维的进步和发展。

数学理论体系的建立是一个复杂而又精妙的过程。它不仅需要我们对“数”有深入的理解和认识，更需要我们具备一种抽象、归纳、推理的思维方式。这种思维方式不仅在数学领域有着重要的应用，更在我们的日常生活和工作中发挥着不可替代的作用。

附:#每日金句

从对应的角度思考，自然数来源于对数量的刻画，有理数来源于对比例的刻画，无理数来源于对度量的刻画；基于数量与数量之间的关系，产生了四则运算和极限运算。这便是数量与数量关系的第一次抽象，是一个从感性具体上升到理性具体的思维过程。从公理的角度思考，皮亚诺算术公理体系定义了自然数和加法，派生出四则运算；为了四则运算的封闭性，把自然数集合扩充到有理数集合；为了合理解释极限运算，把有理数集合扩充为实数集合。这便是数量与数量关系的第二次抽象，是一个从理性具体上升到理性一般的思维过程。

——史宁中，数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016：54